POR:
MARRASQUIN GUERRERO KARLA ESTEFANY IX semestre A
RIVERA FUENTES ALLISON BETSABE 2 do parcial
RODRIGUEZ HOLGUIN KAREN JULEISY
SALCEDO DELGADO LEONARDO JAVIER
CAPITULO 5
PRINCIPIOS DE LA OPTIMIZACION
INTRODUCCIÓN:
En el análisis y diseño de sistemas de ingeniería ocurren situaciones que provocan efectos conflictivos.
5.1 TÉCNICAS DE OPTIMIZACION
FUNCIÓN OBJETIVO: Maximizar algún beneficio o salidas del sistema, o de minimizar los costos o entradas al proceso.
- Balance de materia
- Balances de eneria
- Ecuaciones de diseño
- Estipulaciones de algunas variables
Se puede clasificar el problema mediante el tipo de relaciones que definen la función objetivo y las restricciones del sistema.
5.2 OPTIMIZACION DE UNA VARIABLE
Se puede usar los principios de calculo diferencial.
- La derivada de la función con respecto a la variable de interés igualada a cero proporciona el máximo o el mínimo que se busca.
En el caso que los requerimientos no se cumplan se aplica:
- Técnicas de búsqueda: se basa en el concepto de eliminación de regiones. la ´´función objetivo´´ se evalúa en varios puntos y se rechaza la región que contenga los peores valores. (el proceso se repite de tal forma que la región de búsqueda se va aislando hasta que contenga el punto optimo)
FUNCIÓN OBJETO para un problema de optimizacion debe ser UNIMODAL para garantizar el valor optimo global mediante un método numérico
Las funciones NO UNIMODAL conducen a un valor optimo local.
FUNCIONES UNIMODALES
FUNCIONES NO UNIMODALES
5.3 El Método De La Sección Dorada
Uno de los métodos más efectivos para
optimizar problemas de una variable es el conocido como sección Dorada o
SECCION ÁUREA.
El método se basa en la colocación de
puntos de búsquedas simétricos, de tal manera en cada iteración, el punto que
se conserva sirve como base para la selección del nuevo punto, el cual a su vez
debe conservar la simetría original, pero acotando la solución óptima dentro de
un intervalo de una búsqueda menor
La idea básica es economizar el número
de evaluaciones de función y acotar la solución óptima en intervalos anidados
sucesivos. Esto se logra evaluando la función objetivo f(x) en dos puntos anteriores
de cada intervalo: 
(Lado Izquierdo) y ri ( lado derecho) contenidos en [ai, 
] o [ ri, bi
] del problema, dependiendo de qué zona sea lo que contenga el peor punto
de los avaluados.
(Lado Izquierdo) y ri ( lado derecho) contenidos en [ai, ] o [ ri, bi
] del problema, dependiendo de qué zona sea lo que contenga el peor punto
de los avaluados.
5.3.1 DEDUCCIÓN DEL MÉTODO
Al evaluar la función objetivo en cada
uno de estos dos puntos interiores, se comparan los valores obtenidos, y se
rechaza la región comprendida a la izquierda de 
o la comprendida a la derecha de 
dependiendo de cuál de estos puntos generó{o
el peor valor de la función objetivo
o la comprendida a la derecha de dependiendo de cuál de estos puntos generó{o
el peor valor de la función objetivo- Las dos primeras iteraciones el método de sección dorada,
suponiendo que el punto es peor que el punto Io
La función evaluada en proporciona un peor valor de la función objetivo que el obtenido con el punto ,por lo que se rechaza la región
5.3.2 REDUCCIÓN DE INTERVALOS
La
contracion que se logra en el espacio de búsqueda con el método de sección
dorada esta dada por
Donde:
n= es elnumero de evaluaciones, equivalente a n-2
iteraciones ( recordar que este número de iteraciones implica que la colabracin
de puntos iniciales se ha definido como la iteracion 0)
Esta relación puede servir para establecer el numero de
iteraciones que se requiere en un problema dado para alcanzar una aproximacion deseado en el valor optimo
ejemplo:
Aplicación Del Método De La Sección Dorada
Encontrar el mínimo de la función f(x)= x2
– x en el intervalo (0.2)
Usar 4 iteraciones.
SOLUCION:
Podemos predecir primero el grado de reducción del
intervalo original para las cuatros iteraciones que se desean, las cuales equivalen
a n=6 evaluaciones de función. Por lo tanto,
O 9% del intervalo original.
ITERACCIÓN 0
Colocación de puntos iniciales
El
peor punto es r0 por lo que se rechaza el intervalo
como se muestra a continuación
ITERACCION 1
El intervalo remanente (a1
, b1) es (0, 1.236)
El punto Io = 0.754 se
convierte en r1 ,
por lo que debemos evaluar el punto I1 para esta iteración
ITERACION 2
Este es un peor punto que el anterior, ya que f(I1) mayor f(r2) por lo que debe eliminarse la región
comprendida a la izquierda de I2
ITERACION 3
ITERACCION 4
Eliminar (0.292, 0.403)
Hasta el nivel, el óptimo
se ha acotado en el intervalo (0.403, 0.584) el cual corresponde al 9% del
intervalo original. El mejor punto obtenido en cuatro iteraciones es
x*=0.472
LA SOLUCION EXACTA ES X*
=0.5
5.4 METODO
FIBONACCI
Se diferencia de la sección dorada,
ya que el factor de concentración τi no es constante y cambia con
cada interacción.
Considerar
la siguiente figura.
Supongamos que se rechaza la región
derecha del intervalo (ri-1, bi-1), y analicemos las dos
opciones de cambio para el punto remanente li-1
ANÁLISIS DE HACER li-1= li
ANALISIS DE HACER li-1= ri
Por lo cual se requiere de una condición inicial o una terminal.
Supongamos que n ≥
3 es un número fijo de evaluaciones de función permisibles, se tiene el
siguiente esquema de evaluaciones de
función:
Examinar la penúltima interacción. Para simplificar, hacer
que τn-3 = β. (ver
fig.). Con objeto de maximizar la región de rechazo en la última interacción (y
por tanto minimizar la longitud del ultimo intervalo remanente), conviene
escoger β de tal manera que el
punto rn-2 quede exactamente a la mita del intervalo (an-2, bn-2),
es decir
1 - β = 2β – 1
De donde β = 2/3 = τn-3
Lo cual implica que τn-2 = (1+ε)/2,
donde ε << 1. Por lo tanto, podemos usar τn-3 = 2/3
como la condición terminal para la ecuación
de la cual se obtiene la forma recursiva para la evaluación
de τi-1
Aplicando esta relación, se obtienen los siguientes valores:
Donde Fi son los números de Fibonacci, los cuales
se obtienen al sumar los dos anteriores:
CORRECCION
DEL INTERVALO
Después de n – 2 iteraciones, lo cual implica n evaluaciones
de función, el intervalo original se reduce a una fracción equivalente a
CONSTRUCCION
DE BUSQUEDA MEDIANTE FIBONACCI
Para n evaluaciones de función, en general, se construye la
siguiente secuencia:
Consideremos el caso en que n = 6 evaluaciones de función
(equivalentes a 4 iteraciones)
Con esta secuencia de valores de τi se construye la búsqueda de
Fibonacci, similar a la sección dorada, solo que ahora τ varía en cada interacción.
·
El método Fibonacci es ligeramente superior al de
sección dorada ya que se logra una reducción de intervalos
·
A diferencia de la sección dorada, en Fibonacci es
necesario que se fije el número de intervalos antes de empezar a aplicarlo, ya
que a partir de esto se evalúa el parámetro inicial para τ0
APLICACIÓN
DEL METODO
Minimizar la función f(x) = (x-4)2 haciendo una
búsqueda en el intervalo (0,9). Usar 2 iteraciones.
SOLUCIÓN:
Para n-2 iteraciones se requiere de n = 4 evaluaciones de
función.
Sabemos que τn-2 = τ2 = ½, a partir de lo cual se construye la secuencia de
valores de τi
que se van a usar
en cada iteración i:
Comenzar colocando los primeros puntos
ITERACION 0
Evaluamos es la función inicial f(x) = (x-4)2 y obtendremos los valores de
·
f(l0)
= 0.16
·
f(r0)
= 1.96
Graficamos:
Y se rechaza el lado derecho [r0, b0] =
[5.4; 9]
ITERACION 1
Para esta iteración usar
l0 → r1 = 3.6
Entonces el punto izquierdo será
Y reemplazando en la función f(x) = (x-4)2
f(l1)= 4.84 y graficamos:
Y se rechaza el lado izquierdo [l1, a1]
= [1.8; 0]
ITERACION 2
Es la última iteración que se ha fijado, en la cual el
intervalo remanente es [a2, b2] = [1.8; 5.4]
Y r1 pasa a ser l2 = 3.6
Como se trata de la última iteración el nuevo punto r2 debe
coincidir con el punto l2.
Y evaluando en nuestra función obtendremos
f(x) = (x-4)2
f(3.61)= 0.1521 y graficamos:
En esta última iteración podemos eliminar la mitad de la
región remanente evaluando la función en el punto l2 + E, donde E = 0,001
CONCLUSION:
El método de Fibonacci con 2 iteraciones termina con un
aproximado del optimo x= 3.6.
Se detecta que el óptimo está comprendido entre el 3.6 y 5.4.
La solución exacta implica x= 4
